线性代数证明：子空间直和分解 - W2 = W1 ⊕ (W2 ∩ U)

要证明 W2 = W1 ⊕ (W2 ∩ U)，我们需要证明以下两个条件：

1. W2 = W1 + (W2 ∩ U)：要证明 W2 包含于 W1 + (W2 ∩ U) 和 W1 + (W2 ∩ U) 包含于 W2。

(a) W2 包含于 W1 + (W2 ∩ U)： 对于任意的 v ∈ W2，我们需要证明 v ∈ W1 + (W2 ∩ U)。 由于 W1 是 W2 的子集，所以 v ∈ W1。另外，由于 U 是 W1 在 V 中的直和补，所以 v 可以被分解成两个向量的和，其中一个属于 W1，另一个属于 U。设 w1 ∈ W1，u ∈ U，使得 v = w1 + u。 现在我们需要证明 u ∈ W2 ∩ U。由于 v ∈ W2，所以 v = w2，其中 w2 ∈ W2。将 v 的表达式代入，得到 w1 + u = w2。移项可得 u = w2 - w1。由于 w2 ∈ W2 和 w1 ∈ W1，所以 u ∈ W2 和 u ∈ U，即 u ∈ W2 ∩ U。 因此，我们证明了 v = w1 + u，其中 w1 ∈ W1，u ∈ W2 ∩ U。这意味着 v 属于 W1 + (W2 ∩ U)，即 W2 包含于 W1 + (W2 ∩ U)。

(b) W1 + (W2 ∩ U) 包含于 W2： 对于任意的 v ∈ W1 + (W2 ∩ U)，我们需要证明 v ∈ W2。 根据定义，v 可以被分解成两个向量的和，其中一个属于 W1，另一个属于 W2 ∩ U。设 w1 ∈ W1，u ∈ W2 ∩ U，使得 v = w1 + u。 由于 u ∈ W2 ∩ U，所以 u 同时属于 W2 和 U。根据直和的定义，U 和 W1 没有交集，即 u ∈ W2 且 u ∉ W1。所以我们可以将 u 进一步拆分为两个向量的和，其中一个属于 W2 ∩ U，另一个属于 W2 的补空间。设 u = u1 + u2，其中 u1 ∈ W2 ∩ U，u2 ∈ W2 的补空间。 将 v 的表达式代入，得到 v = w1 + u1 + u2。由于 W2 是一个线性空间，所以 w1 + u1 + u2 属于 W2。因此，我们证明了 v ∈ W2，即 W1 + (W2 ∩ U) 包含于 W2。

2. W1 和 (W2 ∩ U) 的交集只有零向量： 我们需要证明 W1 ∩ (W2 ∩ U) = {0}。 假设存在一个非零向量 v ∈ W1 ∩ (W2 ∩ U)。这意味着 v 同时属于 W1 和 W2 ∩ U。 由于 W1 是 W2 的子集，所以 v 属于 W2。另外，由于 v 属于 W2 ∩ U，所以 v 同时属于 U。 但这与 U 是 W1 在 V 中的直和补的定义相矛盾，因为 v 同时属于 U 和 W1，而 U 和 W1 应该没有交集。 因此，我们得出结论 W1 ∩ (W2 ∩ U) = {0}。

综上所述，根据直和的定义，我们证明了 W2 = W1 ⊕ (W2 ∩ U)。