变步长梯形求积算法计算积分及Matlab实现

本文将介绍如何使用变步长梯形求积算法计算积分，并提供Matlab代码实现。

问题描述:

计算积分 I=∫_0^1▒〖e^(-x^2 ) dx〗的近似值，要求计算精度为 10^-4。

实验目的与要求:

理解变步长梯形求积的基本思想与计算方法。2. 掌握算法终止的判断条件。3. 编程实现变步长梯形求积算法。

算法原理:

变步长梯形求积算法的基本思想是将积分区间等分为多个小区间，并在每个小区间上使用梯形公式进行近似计算。通过不断减小区间的宽度，可以提高计算精度。

计算步骤:

确定初始步长: 将积分区间 [a, b] 平均分成 n 个小区间，则每个小区间的宽度为 h = (b - a) / n。
计算积分近似值: 使用梯形公式计算初始积分近似值。
判断终止条件: 计算相邻两次积分近似值的差，如果差值小于等于给定的计算精度 epsilon，则算法终止。
减小步长: 如果不满足终止条件，则将步长 h 减半，小区间数 n 翻倍，并返回步骤2。

Matlab代码实现:

**变步长梯形求积算法函数:**matlabfunction I = adaptive_trapezoidal(a, b, epsilon, f) h = (b - a); % 初始小区间的宽度 n = 1; % 初始小区间数 x = a:h:b; % 构建等分的点集 % 计算积分 I_prev = 0; I = h / 2 * (f(a) + f(b)); % 使用梯形公式计算初始近似值 while abs(I - I_prev) > epsilon % 判断计算精度是否满足要求 h = h / 2; % 将小区间的宽度减半 n = n * 2; % 将小区间数翻倍 I_prev = I; % 更新旧的近似值 I = I / 2; % 先将近似值除以2 % 在新的小区间上使用梯形公式进行近似计算 for i = 2:2:n I = I + h * f(x(i)); end endend

**主函数调用示例:**matlab% 定义积分函数f = @(x) exp(-x.^2);

% 积分区间上下限a = 0;b = 1;

% 计算精度epsilon = 1e-4;

% 调用 adaptive_trapezoidal 函数求解积分I_approx = adaptive_trapezoidal(a, b, epsilon, f);

% 打印积分的近似值disp('积分的近似值为:');disp(I_approx);

% 计算积分的准确值syms x;I_exact = double(int(f(x), a, b));

% 打印积分的准确值disp('积分的准确值为:');disp(I_exact);

总结:

本文介绍了变步长梯形求积算法的原理和实现方法，并提供了Matlab代码示例。该算法能够自适应地调整步长，以满足预设的计算精度要求。