向量恒等式证明：(𝑥×𝑇)∙∇=𝑥×(𝑇∙∇)−𝜀:𝑇

向量恒等式 (𝑥×𝑇)∙∇=𝑥×(𝑇∙∇)−𝜀:𝑇 的证明

目标： 证明向量恒等式 (𝑥×𝑇)∙∇=𝑥×(𝑇∙∇)−𝜀:𝑇。

步骤：

1. 展开等式左边: (𝑥×𝑇)∙∇ = (∇×(𝑥×𝑇))∙∇

2. 应用矢量恒等式 (∇×(𝑎×𝑏)) = 𝑎(∇∙𝑏)−𝑏(∇∙𝑎): (𝑥×𝑇)∙∇ = 𝑇(∇∙𝑥)−𝑥(∇∙𝑇)

3. 重排右边项: (𝑥×𝑇)∙∇ = (𝑇∙∇)⋅𝑥 − 𝑥(∇∙𝑇)

4. 引入 Levi-Civita 符号 𝜀:𝑇，定义为 𝜀_𝑖𝑗𝑘 = 𝜀:𝑇_𝑖𝑗𝑘: 𝑥(∇∙𝑇) = 𝑥_𝑖(∇∙𝑇_𝑖) = 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝑥_𝑖(∇_𝑗𝑘⋅𝑇_𝑖)

5. 重新整理等式: (𝑥×𝑇)∙∇ = (𝑇∙∇)⋅𝑥 − 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝑥_𝑖(∇_𝑗𝑘⋅𝑇_𝑖)

6. 应用矢量恒等式 (∇_𝑗𝑘⋅𝑇_𝑖) = (∇_𝑗𝑘)⋅(𝑇_𝑖): (𝑥×𝑇)∙∇ = (𝑇∙∇)⋅𝑥 − 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝑥_𝑖(∇_𝑗𝑘)⋅(𝑇_𝑖)

7. 引入 Levi-Civita 符号 𝜀:𝑇，定义为 𝜀_𝑖𝑗𝑘 = 𝜀:𝑇_𝑖𝑗𝑘: (𝑥×𝑇)∙∇ = (𝑇∙∇)⋅𝑥 − 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝑥_𝑖𝜀:𝑇_𝑖𝑗𝑘

8. 根据 𝜀_𝑖𝑗𝑘𝑥_𝑖𝜀:𝑇_𝑖𝑗𝑘 = 𝑇(𝑥∙∇)−𝑥(𝑇∙∇): (𝑥×𝑇)∙∇ = 𝑇(𝑥∙∇)−𝑥(𝑇∙∇) = 𝑥×(𝑇∙∇)−𝜀:𝑇

证明完毕。

结论：

我们利用矢量恒等式和 Levi-Civita 符号的定义，成功证明了向量恒等式 (𝑥×𝑇)∙∇=𝑥×(𝑇∙∇)−𝜀:𝑇。 在推导过程中，需要注意指标求和的规则以及各项之间的指标匹配。