线性回归模型的代价函数和梯度下降算法实现

本文将使用Python语言实现线性回归模型的代价函数和梯度下降算法。代码基于NumPy和Pandas库，并包含详细的代码注释。

import numpy as np
import pandas as pd

# 计算代价函数J(θ)
def computeCost(X, y, theta):
    # X 、 y 、 theta 与数据预处理参数保持一致
    # 返回代价函数的值（参考编程要求中的代价函数函数）
    #********** Begin **********#
    m = len(y)
    predictions = X.dot(theta)
    square_err = (predictions - y) ** 2
    J = (1.0 / (2 * m)) * np.sum(square_err)
    return J  
    #********** End **********#

# 批量梯度下降
# 返回参数 θ 的值和每次迭代后代价函数的值，梯度下降公式参考编程要求梯度下降公式
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, epoch):
    # X 、 y 、 theta 与数据预处理参数保持一致
    # alpha :学习率（取值：alpha = 0.01）
    # epoch :迭代次数（取值：epoch = 1000）
    cost = np.zeros(epoch)  # 初始化一个 ndarray ，包含每次 epoch 的cost
    #********** Begin **********#
    m = len(y)
    for i in range(epoch):
        predictions = X.dot(theta)
        theta = theta - alpha * (1.0 / m) * X.T.dot(predictions - y)
        cost[i] = computeCost(X, y, theta)
    #********** End **********#
    return theta, cost

代码解释：

computeCost 函数：计算线性回归模型的代价函数，该函数接收三个参数：特征矩阵 X、目标变量 y 和参数向量 theta。
gradientDescent 函数：实现批量梯度下降算法，该函数接收五个参数：特征矩阵 X、目标变量 y、参数向量 theta、学习率 alpha 和迭代次数 epoch。

使用方法：

导入NumPy和Pandas库
加载数据并进行预处理
初始化参数向量 theta
调用 computeCost 函数计算初始代价函数的值
调用 gradientDescent 函数进行梯度下降，并获得更新后的参数向量 theta 和每次迭代后的代价函数值
使用更新后的参数向量 theta 进行预测

注意事项：

学习率 alpha 的选择对梯度下降算法的收敛速度有很大影响，过大的学习率会导致算法发散，过小的学习率会导致算法收敛速度过慢。
迭代次数 epoch 的选择也要根据实际情况进行调整，过小的迭代次数会导致算法没有收敛，过大的迭代次数会导致算法运行时间过长。

总结：

本文介绍了如何使用Python语言实现线性回归模型的代价函数和梯度下降算法。代码简洁易懂，便于理解和学习。希望本文对您有所帮助。

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