证明实函数在区间上为常数的条件

首先，由于m是单调递增右连续的，因此可以将区间(r0, r1)分成若干个子区间，使得在每个子区间上，m是连续的。

下面对于每个子区间，证明h(x)在该子区间上是一个常数。

设该子区间为(a, b)，则根据Dmh(x)=0，有：

∫a^b h'(x) dμ(x) = 0

由于h(x)是实函数，因此h(x)在(a, b)上可积。由于m(x)是连续的，因此存在一个常数M，使得对于任意的x∈(a, b)，有m(x)≤M。

对于任意的t∈(a, b)，有：

|h(t) - h(a)| = |∫a^t h'(x) dμ(x)| ≤ ∫a^t |h'(x)| dμ(x)

由于h(x)在(a, b)上可积，因此对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得对于任意的t1、t2∈(a, b)，如果|m(t1) - m(t2)|<δ，则有：

|h(t1) - h(t2)| ≤ ε

由于m(x)是单调递增的，因此如果|m(t1) - m(t2)|<δ，则有：

|t1 - t2| ≤ δ

因此，由于h(x)在(a, b)上是连续的，因此在(a, b)上是一个常数。

综上所述，h(x)在(r0, r1)上是一个常数。