1/√(1-x^2) 的原函数解析及应用

首先，我们可以将函数 1/√(1-x^2) 写成幂级数的形式，即：

1/√(1-x^2) = 1 + x^2/2 + (3/8)x^4 + (5/16)x^6 + (35/128)x^8 + ...

这个级数的推导可以通过泰勒级数展开或者其他方法得到，但这里不做详细讨论。

接下来，我们可以考虑对这个级数进行积分，得到原函数。由于这个级数收敛于[-1,1]，我们只需要对这个区间内的幂级数进行积分，即：

∫(1/√(1-x^2))dx = ∫(1 + x^2/2 + (3/8)x^4 + (5/16)x^6 + (35/128)x^8 + ...)dx

= x + x^3/6 + (1/8)x^5 + (5/48)x^7 + (35/384)x^9 + ...

这个级数同样可以通过泰勒级数展开或者其他方法得到，但这里不做详细讨论。

最终，我们得到了原函数的表达式。需要注意的是，这个函数在[-1,1]内是连续且无穷可导的。在其他区间内，原函数需要通过对称性进行调整，例如在[1,2]内，原函数可以表示为：

∫(1/√(1-x^2))dx = -(∫(1/√(1-y^2))dy)|y=1 = -(π/2 + 1) + (2 + π/2) = 3 + π/2

需要注意的是，这个函数在[-1,1]外是不连续的，因此我们只能讨论它在[-1,1]内的性质。在实际应用中，我们通常可以将这个函数进行归一化处理，得到一个在[-1,1]内连续的函数。